무작위와 질서 사이

1. 소수라는 수수께끼

소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 자연수다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… 숫자를 늘어놓을수록 분포는 금세 흐트러진다. 다음 소수를 예측하는 일은 거의 불가능에 가깝다. 수학자들은 이러한 소수가 자연수의 기본 구성 요소라 말하지만, 그 모습은 무작위에 더 가까워 보인다.

그 무작위 같음이 주는 경외감이 소수의 첫인상이라면, 1963년 한 수학자의 낙서는 그 인상에 작은 균열을 냈다. 폴란드 출신 수학자 스타니스와프 울람(Stanisław Ulam)은 지루한 회의 중 메모지에 나선을 그렸다. 중심에 1을 두고 시계 반대 방향으로 자연수를 늘어놓은 뒤, 소수 자리마다 점을 찍었다.

17  16  15  14  13
18   5   4   3  12
19   6   1   2  11
20   7   8   9  10
21  22  23  24  25

 

2. 패턴 속의 패턴

순수한 호기심이었다. 그런데 멀찍이 바라보니, 흩어져 있을 줄 알았던 점들이 대각선을 따라 줄을 이루고 있다. 울람 소용돌이에서 드러난 대각선은 완전한 질서도, 완전한 무질서도 아니다. 어떤 줄기는 진하게, 또 어떤 줄기는 희미하게 나타난다. 몇몇 대각선은 특정 이차 다항식— 예컨대 n² + n + 41 —이 많은 소수를 만들어 내는 결과일 뿐이지만, 그 사실만으로 모든 무늬를 설명할 수는 없다.

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N = 1001 까지 소수 표시

나선 연결선 표시

울람 소용돌이는 소수 분포의 비밀을 풀어 주지 않는다. 소수 전반을 '설명'하지도, 확률론을 거스르지도 않는다. 뚜렷한 줄기의 일부는 다항식 효과로, 다른 줄기는 단순한 우연 배치로 밝혀졌다. 그러니 이 그림을 두고 "소수 분포를 완전히 이해했다"라고 말할 수는 없다. 한 걸음 물러나 '흥미로운 현상'으로 바라보는 편이 옳다. 

그럼에도 우리는 이 그림 앞에서 자연스레 작은 비유를 떠올린다. 대각선 줄기는 반복되는 루틴—매주 정해진 운동, 월말 정산—을 닮았다. 공백은 불시에 찾아오는 여행과 휴식을, 중심에서 멀어질수록 흐려지는 무늬는 시간이 지나며 사라지는 목표와 새로 떠오르는 관심사를 닮았다. 다만 비유는 한두 줄이면 충분하다. '소수의 비밀이 곧 인생의 비밀'이라는 대담한 선언은 잠시 접어 두자.

 

3. 낙서의 힘

소수를 찍은 점들이 보여 주는 질서는 아직 닫히지 않았다. 관찰만으로도 작은 충격과 호기심을 남긴다. 

무작위 속에도 배열이 보인다.
질서라 믿었던 것도 관점을 바꾸면 흩어진다.

 

울람 소용돌이는 이 두 문장 사이에서 의미를 왕복한다. 우리는 잠시 숫자를 바라보고, 다시 일상으로 돌아간다. 이 모든 것은 한 장의 낙서에서 비롯됐다. 가장 심오한 통찰이, 가장 단순한 호기심에서 나올 때가 있다. 소수는 설명보다 먼저 존재한다. 울람 소용돌이는 그 존재를 그림으로 보여 줄 뿐, 모든 의문을 해결하지는 않는다. 무작위와 질서의 경계에 선 작은 점 하나—그 자리만 바라봐도 충분히 흥미롭다.